Kettinglyn

In wiskunde is 'n kettinglyn die vorm wat 'n hangende buigbare ketting of kabel aanneem as dit onderworpe is aan 'n eenvormige swaartekrag wanneer beide punte daarvan ondersteun word en 'n entjie van mekaar is. Die ketting is die stylste by die twee hangpunte aangesien die deel van die ketting elk die helfte van die ketting se gewig dra. Aan die onderpunt van die kettinglyn is die helling van die ketting nul omdat die ketting daar net aan horisontale kragte onderworpe is.

Die woord catenaria is afgelei van die Latynse woord catena, wat "ketting" beteken. Die kromme staan ook bekend as die alysoid, funikulêr, en chainette. Galileo het beweer dat die kromme van 'n ketting wat onder gravitasie hang 'n parabool sou wees, maar dit deur Jungius in 'n werk, wat in 1669 gepubliseer is, weerlê. In 1691 het Leibniz, Christiaan Huygens, en Johann Bernoulli die vergelyking afgelei in reaksie op 'n uitdaging deur Jakob Bernoulli. Huygens het die term 'catenaria' vir die eerste keer in 'n brief aan Leibniz in 1690 gebruik, en David Gregory het in 1690 'n verhandeling oor die kettinglyn geskryf. Die Engelse woord 'catenary' word gewoonlik toegeskryf aan Thomas Jefferson.^[1]

As 'n mens 'n parabool langs 'n reguit lyn rol trek die parabool se brandpunt 'n kettinglyn af. Soos in 1744 deur Euler bewys is, is dit ook die kromme wat, wanneer dit om die x-as geroteer word, die oppervlak, die katenoïed gee met die minimum-oppervlak vir die gegewe bounding sirkel.

Vierkantige wiele kan perfek glad rol as die pad eweredig gespasieerde hobbels in die vorm van 'n reeks omgekeerde kettinglyne het. Die wiele kan enige ewesydige veelkant wees, maar mens moet die regte kettinglyn gebruik wat ooreenkom met die vorm en dimensies van die wiel.

Die intrinsieke vergelyking van die kettinglynvorm word gegee deur die hiperboliese funksie en eksponensiële ekwivalent

${\displaystyle y=a\cdot \cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\cdot \left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right).}$

As ${\displaystyle e^{x/a}}$ en ${\displaystyle e^{-x/a}}$ uitgebrei word met 'n Taylor-reeks kry ons

${\displaystyle y=a\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+{\frac {1}{24}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{4}+\cdots \right)}$.

Wanneer ${\displaystyle \left(x\ll a\right)}$ kan die vierde krag en hoër terme verwaarloos word en die oorblyfsel is 'n parabool.

1. ↑ [1]