Metrik tenzor

Differensial həndəsədə metrik tenzor – səthə toxunan iki v və w vektorlarını qəbul edib bir həqiqi ədəd qaytaran funksiyaya deyilir. Bu tenzor, vektorların Evklid həndəsəsindəki skalyar hasili ümumiləşdirir. Skalyar hasil, iki vektor arasındakı məsafə və bucağı təyin edən əməliyyat olduğu üçün, metrik tenzor, bu əməliyyatı istənilən növ çoxobrazlı üzərindəki vektorlar üçün etməyə imkan verir.

Əgər istənilən sıfırdan fərqli v vektoru üçün g(v, v) > 0 şərti ödənilirsə, o zaman metrik teznor müsbət-müəyyən kimi xarakterizə olunur. Metrik tenzoru müsbət-müəyyən olan çoxobrazlıya Riman çoxobrazlısı deyilir. Riman çoxobrazlısında iki nöqtəni birləşdirən ən qısa əyri, geodezik adlanır. Beləliklə, Riman çoxobrazlısında uzunluq anlayışı olduğuna görə, yəni istənilən p və q nöqtəsi üçün p -dən q -ya qədər məsafəni hesablayan d(p, q) funksiyası mövcud olduğuna görə Riman çoxobrazlısı metrik fəza hesab olunur. Digər tərəfdən, metrik tenzora məsafə funksiyasının törəməsi kimi baxa bilərik: metrik tenzor çoxobrazlıdakı sonsuz kiçik məsafəni verir.

Metrik tenzorun koordinat bazisinə görə komponentləri simmetrik matris təşkil edir. Bu komponentlər koordinat sisteminin dəyişilməsi zamanı kovariant çevrilməyə məruz qalır. Ona görə də metrik tenzor kovariant simmetrik tenzor hesab olunur.