Fibonaccijev broj

U matematici, Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definisan sljedećom rekurzivnom relacijom:

${\displaystyle F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{ako je }}n=0;\\1&{\mbox{ako je }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{ako je }}n>1.\\\end{cases}}}$

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi (niz A000045 u OEIS) , također označeni kao F_n, za n = 0, 1, … , su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F₁ = 1, ali uobičajenije je uključiti F₀ = 0.

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.^[1][2]

Ako znamo Fibonaccijeve brojeve ${\displaystyle F_{m}}$ i ${\displaystyle F_{n}}$ onda možemo naći broj ${\displaystyle F_{m+n}}$ po formuli

${\displaystyle F_{m+n}=F_{(m-1)}F_{n}+F_{m}F_{n+1}}$

Također imamo

${\displaystyle F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})}$

${\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}+F_{n-1}^{3}}$

Uopšteno

${\displaystyle F_{mn}=\textstyle \sum _{k=1}^{m}{{\binom {m}{k}}(F_{n}^{k}(F_{n-1}^{m-k}}}$

1. ^ Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
2. ^ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985