Back Hiposikloïed Afrikaans دويري تحتي Arabic Хипоциклоида Bulgarian Hipocicloide Catalan Hypocykloida Czech Hypozykloide German Hypocycloid English Hipocikloido Esperanto Hipocicloide Spanish Hipozikloide Basque
- Hipocikloidu opisuje tačka na kružnici koja se, bez trenja kotrlja sa unutrašnje strane druge kružnice.[1]
- Pretpostavimo da se po unutrašnjosti kružnice poluprečnika a kotrlja bez trenja kružnica poluprecnika b, .
- Neka je koordinatni početak u centru kružnice .
- Kružnicu ćemo postaviti tako da dodiruje kružnicu sa unutrašnje strane u tački presjeka sa x osom.
- Posmatrajmo putanju koju opisuje tačka kada se kružnica ravnomjerno kotrlja u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Pretpostavimo da je poslije vremena t ta tačka prešla u tačku ).
- Uslov da je kotrljanje bez trenja, znaći da je dužina luka kružnice jednaka dužini luka kružnice .
- Odnosno
- Ako se kružnica ravnomjerno kotrlja onda je pređeni put proporcionalan vremenu t. Tj.
- pri ćemu je k brzina kotrljanja.
- Dakle, ako uzmemo da se kružnica kotrlja za a dužnih jedinica u jedinici vremena dobijamo
- pa se ugao može tretirati kao vrijeme.
- Odredimo sada koordinate tačke M u koordinantnom sistemu xy. Koordinate centra kružnice na kojoj se nalazi tačka M su:
- Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni početak bude u centru te kružnice K, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su :
- Iz
- dobijamo
- Neka je cio broj, odnosno , možemo pričati o dužini luka i površini hipocikloide.
- Duzina luka hipocikloide je duzina svodova , tj dužina krive koju opise posmatrana tačka dok ne stigne do početnog polozaja.
- Površina hipocikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima hipocikloide .
