Leibnizov test za alternativne redove

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Leibnizov test za alternativne redove je metoda koja se koristi za dokazivanje beskonačni redovi konvergiraju. Otkrio je Gottfried Leibniz.

Red oblika

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}\!}$

gdje su svi a_n pozitivni ili 0, naziva se alternativni red. Ako niz a_n konvergira u 0, te ako je svaki a_n manji od a_n-1 (npr. red a_n je monotono opadajući), tada red konvergira. Ako je L suma reda,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}=L\!}$

tada parcijalna suma

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}(-1)^{n}\!}$

približna sumi L sa greškom od

${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!}$

Jasno je da je moguće za red da njegove parcijalne sume S_k ispunjavaju ovaj posljednji uslov bez da red bude alternativni. Na primjer, imamo red:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{n}={\frac {1}{2}}\!}$