Prirodni logaritam

Prirodni logaritam, od prije poznat kao hiperbolički logaritam,^[1] je logaritam za bazu e, gdje je e iracionalna konstanta, čija je približna vrijednost 2,718281828. Ponekad se koristi i naziv Napierov logaritam, iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije. Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja x je stepen na kojeg se diže broj e kako bi se dobio taj broj x — na primjer, prirodni logaritam broja e je 1 zato što je e¹ = e, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je e⁰ = 1. Prirodni logaritam može se definisati za sve pozitivne realne brojeve x kao površina ispod krive y = 1/t u granicama od 1 do x, a može se definisati i kao kompleksni brojevi različiti od nule, kao što je objašnjeno u tekstu ispod.

Dio serije članaka o matematičkoj konstanti e Prirodni logaritam Primjene u: Složena kamata · Eulerov identitet i Eulerova formula  · Poluživoti i eksponencijalni rast/opadanje Definicije broja e: Dokaz da je e iracionalan broj  · Predstavljanja broja e · Lindemann–Weierstrassov teorem Ljudi John Napier  · Leonhard Euler Schanuel's conjecture

Funkcija prirodnog logaritma može se definirati i kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što vodi do identiteta:

${\displaystyle e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{ako je }}x>0\,\!}$

${\displaystyle \ln(e^{x})=x.\,\!}$

Drugim riješima, logaritamska funkcija je bijekcija iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to je izomorfizam iz grupe pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kao funkcija:

${\displaystyle \ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .}$

Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazu e, te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

1. ^ Flashman, Martin. "Estimating Integrals using Polynomials". Arhivirano s originala, 11. 2. 2012. Pristupljeno 23. 3. 2008.