Camp solenoidal

En càlcul vectorial, un camp solenoidal és aquell pel qual tota integral sobre una superfície tancada és zero. És a dir, un camp vectorial ${\displaystyle {\vec {F}}}$ és solenoidal si, i només si,

${\displaystyle \iint \limits _{S}{{\vec {F}}d{\vec {S}}}=0\qquad \forall {S}{\text{ tancada}}}$

Evidentment, una altra caracterització equivalent pels camps solenoidals és que un camp ${\displaystyle {\vec {F}}}$ és solenoidal si, i només si, per qualssevol superfícies ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle T}$ amb la mateixa vora es compleix

${\displaystyle \iint \limits _{S}{{\vec {F}}d{\vec {S}}}=\iint \limits _{T}{{\vec {F}}d{\vec {S}}}}$

Si el domini del camp és un conjunt estrellat, aleshores un camp vectorial ${\displaystyle {\vec {F}}}$ és solenoidal si, i només si, la divergència del camp és zero:

${\displaystyle \left\langle {\vec {\nabla }},{\vec {F}}\right\rangle =0}$

Aquesta condició se satisfà, independentment del domini del camp, si ${\displaystyle {\vec {F}}}$ és derivable d'un potencial vectorial ${\displaystyle {\vec {G}}}$. És a dir, si per algun camp vectorial ${\displaystyle {\vec {G}}}$ es té:

${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\land {\vec {G}}}$

Ja que llavors es compleix automàticament que:

${\displaystyle \left\langle {\vec {\nabla }},{\vec {F}}\right\rangle =\left\langle {\vec {\nabla }},({\vec {\nabla }}\land {\vec {G}})\right\rangle =0}$

L'afirmació contrarecíproca també és certa gràcies a un teorema de Poincaré, si ${\displaystyle {\vec {F}}}$ és solenoidal en algun punt llavors localment el camp és expressable com el rotacional d'un camp vector.