Complement de Schur

En àlgebra lineal i teoria de matrius, el complement de Schur d'una matriu per blocs és defineix de la manera següent.

Assumim que existeixen unes matrius A, B, C, D que són, respectivament, matrius p × p, p × q, q × p, i q × q, i que D és invertible. Aleshores podem definir M com

${\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}$

de forma que M és una matriu (p + q) × (p + q).

Si D és invertible, el complement de Schur del bloc D de la matriu M és la matriu p × p definida per

${\displaystyle M/D:=A-BD^{-1}C\,}$

i si A és invertible, el complement de Schur del bloc A de la matriu M és la matriu q × q definida per

${\displaystyle M/A:=D-CA^{-1}B.}$

En el cas que A o D sigui singular, substituir la pseudoinversa (o inversa generalitzada) per la inversa de M/A i M/D resulta en el complement de Schur generalitzat.

Tot i que ja havia estat utilitzat anteriorment, el complement de Schur s'anomena així perquè va ser Issai Schur qui el va utilitzar per provar el lema de Schur.^[1] Emilie Virginia Haynsworth va ser la primera que va anomenar-lo complement de Schur.^[2] El complement de Schur és una eina clau en els camps d'anàlisi numèrica, estadística, i anàlisi matricial.