Conjunt de Julia

Un conjunt de Julia és una forma fractal definida sobre el pla complex. Rep el seu nom del matemàtic Gaston Julia.^[1] Donada una iteració del pla complex sobre si mateix (una aplicació que transforma punts del pla complex en punts del pla complex), el conjunt de Julia d'aquest sistema es pot definir com el conjunt de punts per als quals els punts propers no presenten un comportament similar sota l'acció repetida de la iteració. En altres paraules, per a cada nombre complex ${\displaystyle z}$ del pla complex construïm la següent successió:

${\displaystyle z_{0}=z}$

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$

si aquesta successió és fitada, llavors ${\displaystyle z}$ pertany al conjunt de Julia de paràmetre complex ${\displaystyle c}$, que anomenem com ${\displaystyle J_{c}}$; en cas contrari, ${\displaystyle z}$ no pertany al conjunt de Julia.

A la imatge de la dreta, els punts negres pertanyen al conjunt (punts on el polinomi per ${\displaystyle z=x+iy}$ tendeix a infinit quan ${\displaystyle n}$ tendeix a infinit) i els de color no. Els colors donen una indicació de la velocitat amb la qual la successió divergeix: en vermell fosc, al cap de poques iteracions ja se sap que el punt no està en el conjunt; en blanc, la divergència és molt més lenta. Com no es poden calcular infinits valors, és necessari posar un límit, i decidir que si els p primers termes de la successió estan fitats, el punt pertany al conjunt; en augmentar el valor de p es millora la precisió de la imatge.

D'altra banda, se sap que els punts la distància dels quals a l'origen és superior a 2 (és a dir, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}>4}$) no pertanyen al conjunt. Per tant, n'hi ha prou amb trobar un sol terme de la successió que verifiqui ${\displaystyle |z_{n}|>2}$ per tenir la certesa que c no està en el conjunt. Existeix una relació molt forta entre els conjunts de Julia i el conjunt de Mandelbrot denotat per ${\displaystyle M}$, a causa de la similitud de les seves definicions. Si c pertany a ${\displaystyle M}$, llavors ${\displaystyle J_{c}}$ és connex; en cas contrari, ${\displaystyle J_{c}}$ està format per una infinitat de punts aïllats repartits de forma fractal (pols de Cantor). Els conjunts de Julia més complexos són aquells on c es troba just a la frontera de ${\displaystyle M}$.

Els conjunts de Julia i de Fatou són complementaris. De manera informal, el conjunt de Fatou d'una funció consisteix en valors amb la propietat que tots els valors propers es comporten de manera similar al repetir la iteració de la funció, i el conjunt de Julia consisteix en valors tals que una pertorbació arbitràriament petita pot causar canvis dràstics en la seqüència de la funció iterada. Per tant, el comportament de la funció dins del conjunt de Fatou és regular, mentre que al conjunt de Julia el seu comportament és caòtic. El conjunt de Fatou rep el seu nom del matemàtic Pierre Fatou.^[2]