Conjunt de Mandelbrot

En matemàtiques, es defineix el conjunt de Mandelbrot ${\displaystyle M}$ com el lloc geomètric de connexitat de la família uniparamètrica de polinomis quadràtics següent:

${\displaystyle \{f_{c}\colon \mathbb {C} \,\to \,\mathbb {C} \,\,|\,\,f_{c}(z)\,:=\,z^{2}+c\}_{c\,\in \,\mathbb {C} }}$.

És a dir, ${\displaystyle M}$ és el subconjunt de punts ${\displaystyle c}$ del pla complex per als quals el conjunt de Julia de ${\displaystyle f_{c}}$ és connex.

El conjunt de Julia d'un polinomi és connex si i només si tots els seus punts crítics tenen òrbita fitada. Així, una manera equivalent de definir el conjunt de Mandelbrot és com el conjunt de paràmetres ${\displaystyle c\,\in \,\mathbb {C} }$ tals que l'origen ${\displaystyle 0}$ no tendeix a infinit sota la iteració de ${\displaystyle f_{c}}$:

${\displaystyle M\,:=\,\{c\,\in \,\mathbb {C} \,\,|\,\,f_{c}^{n}(0)\,\nrightarrow \,\infty }$ quan ${\displaystyle n\,\to \,\infty \}}$.

Més enllà del seu interès matemàtic, aquest i d'altres conjunts derivats de l'estudi de sistemes dinàmics en variable complexa han esdevingut populars—per raons estètiques—gràcies al boom fractal ocorregut durant els darrers anys del segle XX i primers del segle xxi, ja que els ordinadors permeten dibuixar estructures (fractals) complicadíssimes a partir d'una senzilla fórmula matemàtica. En aquest sentit, cal esmentar els esforços de Benoît Mandelbrot, entre d'altres, per fer conèixer aquest camp de les matemàtiques al gran públic.