Enter algebraic

En matemàtiques, els enters algebraics formen una família de nombres que generalitza el conjunt dels nombres enters. Tenen un paper anàleg a aquests últims en teoria algebraica de nombres.

En primer lloc, els nombres algebraics són els elements particulars de les extensions finites dels nombres racionals, és a dir dels subcossos dels nombres complexos també són de dimensió finita sobre els racionals en tant que espai vectorial. Un nombre algebraic s'anomena enter algebraic si és arrel d'un polinomi mònic (és a dir que el coeficient del seu monomi dominant és igual a 1) de coeficients enters. Per exemple, els nombres de la forma a + ib amb a i b enters, on i designa la unitat imaginària, formen un subconjunt del conjunt dels enters algebraics; s'anomenen enters de Gauss.

Històricament la primera aplicació per la que es van fer servir va ser en la resolució d'equacions diofàntiques, és a dir equacions (sovint) polinòmiques amb coeficients enters, i de les que es busquen solucions enteres. En són exemples el teorema dels dos quadrats de Fermat, l'últim teorema de Fermat o fins i tot l'equació de Pell-Fermat. D'altra banda, el fet d'entendre l'estructura d'un anell d'enters permet comprendre millor el cos d'origen. Les tècniques desenvolupades per descriure les propietats d'aquests anells es fan servir per demostrar teoremes fonamentals dels cossos de nombres com el de Kronecker-Weber.