Espai funcional

En matemàtiques, un espai funcional és un conjunt d'aplicacions d'una certa forma d'un conjunt ${\displaystyle X}$ en un conjunt ${\displaystyle Y}$. S'anomena espai perquè segons els casos pot ser un espai topològic o un espai vectorial o els dos. Els espais funcionals apareixen en diferents àmbits de les matemàtiques:

• En teoria de conjunts, el conjunt de les parts d'un conjunt ${\displaystyle X}$ es pot identificar amb el conjunt de les funcions de ${\displaystyle X}$ amb valors en ${\displaystyle \{0,1\}}$; notat ${\displaystyle \{0,1\}^{X}}$. Més generalment, el conjunt de les aplicacions ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ es nota ${\displaystyle Y^{X}}$;

• en àlgebra lineal el conjunt de les aplicacions lineals d'un espai vectorial ${\displaystyle E}$ cap a un altre ${\displaystyle F}$ sobre un mateix cos commutatiu és ell mateix un espai vectorial;

• En anàlisi funcional, també es poden trobar espais funcionals amb les aplicacions lineals contínues, proveïts de topologies, els exemples principals són els espais de funcions numèriques proveïts d'una topologia; els exemples més coneguts són els espais hilbertians i els espais de Banach.

• en anàlisi funcional, el conjunt de les aplicacions del conjunt dels naturals en un conjunt qualsevol ${\displaystyle X}$ s'anomena espai seqüencial. Està format pel conjunt de les successions d'elements de ${\displaystyle X}$;

• en topologia, es pot intentar construir una topologia sobre l'espai de les funcions contínues d'un espai topològic ${\displaystyle X}$ en un altre ${\displaystyle Y}$, la utilitat del qual depèn de la naturalesa dels espais. Una topologia utilitzada habitualment és la de compacte-obert. Una altra topologia possible és la topologia producte sobre l'espai de les funcions (no necessàriament contínues) ${\displaystyle Y^{X}}$. En aquest context, aquesta topologia també es designa amb el nom de topologia de la convergència simple;

• En topologia algebraica, l'estudi de la teoria de l'homotopia descansa essencialment en l'estudi dels invariants discrets dels espais de funcions;

• en la teoria dels processos estocàstics, el problema tècnic de base és com construir una mesura de probabilitat sobre un espai de funcions constituït per camins de procés (funcions del temps);

• en la teoria de categories un espai funcional s'anomena un objecte exponencial. Apareix d'una certa manera com la representació del bifunctor canònic; però en tant que functor (senzill), del tipus [X, -], apareix com a functor adjunt a un functor de tipus (-×X) sobre objectes;
• en lambda-càlcul i en programació funcional, els tipus d'espais de funcions es fan servir per expressar la idea de funció d'ordre superior;

• en la teoria dels dominis, la idea fonamental és de trobar construccions a partir d'ordres parcials que poden modélitsar el lambda-càlcul, creant una categoria cartesiana tancada.