Kappa (corba)

En geometria, la corba kappa o la corba de Gutschoven és una corba algebraica bidimensional que s'assembla a la lletra grega Κ (kappa).

Fent ser vir el Sistema de coordenades cartesianes es pot expressar com:

${\displaystyle y^{2}(x^{2}+y^{2})=a^{2}x^{2}}$

o, fent servir equacions paramètriques:

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&a\cos t\,\cot t\\y&=&a\cos t\end{matrix}}}$

En coordenades polars la seva equació és fins i tot més simple:

${\displaystyle r=a\tan \theta }$

Té dues asímptotes verticals a ${\displaystyle x=\pm a}$, que es mostren com rectes blaves a traços a la figura de la dreta.

La curvatura de la corba kappa és:

${\displaystyle \kappa (\theta )={8\left(3-\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{4}\theta \over a\left[\sin ^{2}(2\theta )+4\right]^{3 \over 2}}}$

L'angle tangent:

${\displaystyle \phi (\theta )=-\arctan \left[{1 \over 2}\sin(2\theta )\right]}$

La corba de kappa va ser estudiada per primera vegada per Gérard van Gutschoven al voltant de 1662. Altres matemàtics famosos que l'han estudiat inclouen Isaac Newton i Johann Bernoulli.

Les seves tangents varen ser calculades per primera vegada per Isaac Barrow al segle xvii.