Logaritme

El logaritme d'un nombre en una certa base és l'exponent al qual cal elevar aquesta base per obtenir el nombre donat. Per exemple, el logaritme de 1000 en base 10 és 3, perquè 1000 és 10 elevat a 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. D'una manera més general, si x = b^y llavors y és el logaritme de x en base b, el qual s'escriu y = log_b(x) o y = log_b(b^y) i, per tant, log₁₀(1000) = log₁₀(10³) = 3.

Algunes formes de logaritme són especialment usades. El logaritme en base 10 (b = 10) s'anomena logaritme decimal i té moltes aplicacions en ciència i enginyeria. El logaritme en base 10 log₁₀(x) es representa convencionalment com lg(x). D'altra banda, el logaritme natural o logaritme neperià té el nombre e (≈ 2,718) com a base i s'usa a bastament en matemàtiques pures, especialment en càlcul. Es recomana representar els logaritmes naturals log_e(x) com ln(x). Finalment, el logaritme binari utilitza la base 2 (b = 2) i és molt important en informàtica.

Els logaritmes foren introduïts per John Napier a principis del segle xvii com a mitjà per simplificar els càlculs. Foren adoptats ràpidament per navegants, científics, enginyers i altres per dur a terme còmputs de manera més fàcil utilitzant el regle de càlcul i la taula de logaritmes. Les tedioses passes que consisteixen en multiplicacions de molts dígits es poden reemplaçar per consultes de taules i simples sumes gràcies a la propietat fonamental del logaritme, segons la qual el logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels factors:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\,}$

La notació actual dels logaritmes prové de Leonhard Euler, qui els relacionà amb la funció exponencial al segle xviii.

Els logaritmes apareixen profusament en moltes àrees de ciència i tecnologia. L'escala logarítmica és útil quan les dades cobreixen una àmplia gamma de valors: el logaritme les redueix a un rang més manejable. Per exemple, el decibel és una unitat logarítmica que quantifica el nivell de pressió sonora, i el pH és una mesura logarítmica de l'acidesa d'una dissolució química. Els logaritmes també descriuen intervals musicals i informen alguns models en psicofísica, entre molts altres casos.

De la mateixa manera que el logaritme és la funció inversa de l'exponencial, el logaritme complex és la funció inversa de l'exponencial complexa. El logaritme discret n'és una altra variant que té aplicacions en criptografia de clau pública.