Matriu ortogonal

En l'àmbit matemàtic de l'àlgebra lineal, una matriu ortogonal és una matriu quadrada a coeficients reals, tal que les seves columnes (i files) són vectors unitaris ortogonals. Això és el mateix que dir que formen una base ortonormal i, per això, alguns autors les anomenen matrius ortonormals. És a dir,

${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,}$

on I és la matriu identitat.

Una altra manera de descriure les matrius ortogonals és que són les matrius quadrades invertibles a coeficients reals que tenen la seva matriu inversa igual a la seva matriu transposada:

${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1}}$.

Una matriu ortogonal també és unitària (Q⁻¹ = Q^∗) i, per tant, normal (Q^∗Q = QQ^∗) sobre els reals. El determinant de qualsevol matriu ortogonal és +1 o −1.

Com a transformació lineal, una matriu ortogonal preserva el producte escalar i, per tant, actua com una isometria d'espais euclidians, com ara una rotació o una reflexió. En altres paraules, és una transformació unitària.

El conjunt O(n,K) de matrius n×n ortogonals a coeficients en un cos K

${\displaystyle O(n,K)=\{M\in GL(n,K)|M^{\top }M=MM^{\top }=I_{n}\}}$

(on I és la matriu identitat n×n) forma un grup multiplicatiu anomenat grup ortogonal, que és subgrup del grup lineal GL(n,K). El subgrup del grup ortogonal amb matrius de determinant 1 s'anomena grup ortogonal especial i es denota SO(n,K).

L'anàleg als nombres complexos de les matrius ortogonals són les matrius unitàries.