Operador nabla

En càlcul vectorial, l'operador nabla és un operador diferencial vectorial representat amb el símbol nabla ∇.

En un sistema de coordenades cartesianes tridimensional R³ amb coordenades (x, y, z), l'operador nabla es pot definir com a

${\displaystyle \nabla ={\begin{pmatrix}{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\end{pmatrix}}}$

o, alternativament,

${\displaystyle \nabla =\mathbf {i} {\partial \over \partial x}+\mathbf {j} {\partial \over \partial y}+\mathbf {k} {\partial \over \partial z}}$

on ${\displaystyle (\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} )}$ és la base canònica en R³.

L'operador nabla es pot generalitzar a espais euclidians de n dimensions Rⁿ. En un sistema de coordenades cartesianes amb coordenades (x₁, x₂, ..., x_n), l'operador nabla és:

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}e_{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$

on ${\displaystyle \{e_{i}:1\leq i\leq n\}}$ és la base canònica en aquest espai.

De forma més compacta, l'operador nabla s'escriu com a

${\displaystyle \nabla ={\hat {e}}_{i}\partial _{i}.}$