Polinomis de Legendre

En matemàtiques, els polinomis de Legendre P_n(x) són polinomis ortogonals en la variable -1 ≤ x ≤ 1.

Es poden definir mitjançant la següent fórmula, on la seva ortogonalitat és amb unitat de pes:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\displaystyle P_{n}(x)P_{m}(x)dx=0,\qquad n\neq m}$.

Alternativament, en física acostuma a utilitzar-se una funció amb angle polar 0 ≤ θ ≤ π, on x = cos(θ):

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\displaystyle P_{n}(\cos \theta )P_{m}(\cos \theta )\sin \theta \,d\theta =0,\qquad n\neq m}$.

Els polinomis en funció de cos(θ) formen part de la solució de l'equació de Laplace en coordenades polars esfèriques.

Emprant el procés d'ortogonalització de Gram-Schmidt aplicat a { 1, x, x², x³, ... }, el polinomi de Legendre amb n graus, P_n, es pot construir recursivament. De fet, aquest mètode és aplicable a tots els tipus de polinomi ortogonal, com els polinomis d'Hermite, els polinomis de Txebixov, etc. Una altra propietat que els polinomis de Legendre tenen en comú amb la resta de polinomis ortogonals és que tenen exactament n zeros reals diferents, és a dir, creuen l'eix horitzontal n vegades. Aquests zeros s'utilitzen com a punts de quadrícula en esquemes de quadratura de Gauss (integració numèrica).