Tensor de Ricci

En geometria diferencial, el tensor de curvatura de Ricci (anomenat així a partir de Gregorio Ricci-Curbastro) és un tensor—(0,2)—bivalent, obtingut com una traça del tensor de curvatura complet. El tensor de Ricci es pot representar segons els vectors u i v, usualment representat per Ric(u,v) i es pot definir com a la traça de l'endomorfisme

${\displaystyle w\mapsto R(w,v)u}$

on R és el tensor de curvatura de Riemann. En coordenades locals, es pot escriure (fent servir la notació d'Einstein)

${\displaystyle Ric=R_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}}$

on

${\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}}$.

És a dir, es pot expressar com un laplacià del tensor mètric riemanià en el cas de les varietats de Riemann. En dimensions 2 i 3 el tensor de curvatura és determinat totalment per la curvatura de Ricci.

Hom pot pensar en la curvatura de Ricci en una varietat de Riemann com un operador a l'espai tangent.

${\displaystyle {R^{i}}_{j}=g^{ik}R_{kj}}$

Per qualsevols vectors u i v el vector Ric(u) satisfà

${\displaystyle Ric(u,v)=g(Ric(u),v)}$

Això es pot deduir del fet que la símbol de Levi-Civita no presenta torsió.

Si aquest operador és multiplicat simplement per una constant, llavors tenim varietat d'Einstein. La curvatura de Ricci és proporcional al tensor mètric en aquest cas.

La curvatura de Ricci es pot explicar en termes de la curvatura seccional de la manera següent: per a un vector unitari v, (v), v > és suma de les curvatures seccionals de tots els plans travessats pel vector v i un vector d'un marc ortonormal que conté a v (hi ha n-1 d'aquests plans). Aquí R(v) és la curvatura de Ricci com un operador lineal en el pla tangent, i ,.> és el producte escalar mètric. La curvatura de Ricci conté la mateixa informació que totes aquestes sumes sobre tots els vectors unitaris. En dimensions 2 i 3 aquest és igual que especificar totes les curvatures seccionals o el tensor de curvatura, però en dimensions més altes la curvatura de Ricci conté menys informació. Per exemple, les varietats d'Einstein no han de tenir curvatura constant en les dimensions 4 i més.

Si es canvia la mètrica g pel factor conformal ${\displaystyle e^{2f}}$ la curvatura de Ricci canvia a

${\displaystyle e^{2f}(Ric+(2-n)(Hess(f)-df\otimes df+{\frac {1}{2}}\|grad(f)\|^{2}g)-\Delta (f)g),}$

que és un tensor (0,2).