Back مبرهنة كايلي Arabic Satz von Cayley German Cayley's theorem English Teorema de Cayley Spanish قضیه کیلی Persian Cayleyn lause Finnish Théorème de Cayley French משפט קיילי HE Cayley-tétel Hungarian Teorema di Cayley Italian
|
No s'ha de confondre amb el Teorema de Cayley-Hamilton. |
En teoria de grups, el teorema de Cayley, dit així en honor d'Arthur Cayley, estableix que tot grup G és isomorf a un subgrup del grup simètric actuant sobre G.[1] Aquest resultat es pot interpretar com un exemple de l'acció de grup de G sobre els elements de G.[2]
Una permutació d'un conjunt G és qualsevol funció bijectiva entre G i G; i el conjunt de totes aquestes funcions configura un grup amb l'operació de composició, anomenat grup simètric sobre G, i simbolitzat per Sim(G).[3]
El teorema de Cayley col·loca tots els grups al mateix nivell, ja que considera qualsevol grup (incloent-hi grups infinits com (R,+)) com un grup de permutacions sobre algun conjunt subjacent. Així, els teoremes que són certs per a subgrups de grups de permutacions també són certs per a grups en general. No obstant això, Alperin i Bell apunten que
| « | (anglès) in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups.
|
(català) en general, el fet que els grups finits estiguin immersos en grups simètrics no ha influït els mètodes per estudiar els grups finits. | » |
| — J. L. Alperin i Rowen B. Bell, Groups and representations[4]
| |||
L'acció regular utilitzada en la demostració del teorema de Cayley no genera la representació de G en un grup de permutacions d'ordre mínim. Per exemple, S₃, que és un grup simètric d'ordre 6, es representaria mitjançant l'acció regular com un subgrup de S₆ (un grup d'ordre 720).[5] El problema de trobar una immersió d'un grup en un grup simètric d'ordre mínim és significativament més complicat.[6][7]
- ↑ Jacobson, 2009, p. 38.
- ↑ Jacobson, 2009, p. 72, ex. 1.
- ↑ Jacobson, 2009, p. 31.
- ↑ Alperin, J. L.; Bell, Rowen B. Groups and representations. Springer, 1995, p. 29. ISBN 978-0-387-94525-5.
- ↑ Cameron, Peter J. Introduction to Algebra. 2a edició. Oxford University Press, 2008, p. 134. ISBN 978-0-19-852793-0.
- ↑ Johnson, D. L.. Minimal Permutation Representations of Finite Groups. 93, 1971, p. 857. DOI 10.2307/2373739.
- ↑ Grechkoseeva, M. A. «On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups». Siberian Mathematical Journal, 44, 3, 2003, pàg. 443–462. DOI: 10.1023/A:1023860730624.