Teorema del cosinus

En trigonometria, el teorema del cosinus és una identitat, referida a un triangle qualsevol, que relaciona les longituds dels seus costats amb el cosinus d'un dels seus angles. Emprant la notació referida a la Figura 1, el teorema del cosinus estableix que^[1]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,}$

O, de forma equivalent:

${\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta ),\,}$

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha ).\,}$

Cal fixar-se que c és el costat oposat a l'angle γ, i que a i b són els dos costats que formen l'angle γ. Totes tres identitats diuen el mateix; només es presenten separadament perquè en resoldre triangles amb tres costats donats s'ha d'aplicar la identitat tres cops permutant el paper dels tres costats.

El teorema del cosinus generalitza el teorema de Pitàgores, el qual només es compleix pel cas de triangles rectangles: si l'angle γ és un angle recte (mesura 90° o ${\displaystyle \scriptstyle \pi /2}$ radiants), llavors ${\displaystyle \scriptstyle \cos(\gamma )\,=\,0}$ i, per tant, el teorema del cosinus es redueix a

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}$

que és el teorema de Pitàgores.

El teorema del cosinus és útil per a calcular el tercer costat d'un triangle quan es coneixen dos costats i l'angle inclòs, i per a calcular els angles d'un triangle quan es coneixen els tres costats.^[2]