Teorema d'Ehrenfest

Mecànica quàntica
${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$ Principi d'incertesa Història de la mecànica quàntica Cronologia de la mecànica quàntica
Antecedents Mecànica clàssica Teoria quàntica antiga Interferència · Notació bra-ket Hamiltonià
Conceptes fonamentals Estat quàntic · Funció d'ones Superposició · Entrellaçament Complementarietat · Dualitat Incertesa · Mesura Exclusió · Decoherència Teroema d'Ehrenfest · Efecte túnel · No-localitat
Formulacions Imatge de Schrödinger Imatge de Heisenberg Imatge d'interacció Mecànica matricial Integral de camins
Equacions Equació de Schrödinger Equació de Pauli Equació de Klein–Gordon Equació de Dirac Fórmula de Rydberg
Científics Bell · Bohm · Bohr · Born · Bose  · de Broglie · Dirac · Ehrenfest · Everett · Feynman · Heisenberg · Jordan · Kramers · von Neumann · Pauli · Planck · Schrödinger  · Sommerfeld · Wien · Wigner · Salam · Riazuddin

El teorema d'Ehrenfest, que rep el nom del físic teòric austríac Paul Ehrenfest, relaciona la derivada temporal dels valors esperats dels operadors de posició i moment x i p amb el valor esperat de la força. ${\displaystyle F=-V'(x)}$ sobre una partícula massiva que es mou en un potencial escalar ${\displaystyle V(x)}$, ^[1]

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(x)\right\rangle ~.}$

El teorema d'Ehrenfest és un cas especial d'una relació més general entre l'esperança de qualsevol operador mecànic quàntic i l'esperació del commutador d'aquest operador amb l'hammiltonià del sistema ^[2][3]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,}$

on A és un operador de mecànica quàntica i ⟨A⟩ és el seu valor esperat.

És més evident a la imatge de Heisenberg de la mecànica quàntica, on és només el valor esperat de l'equació de moviment de Heisenberg. Proporciona suport matemàtic al principi de correspondència.

La raó és que el teorema d'Ehrenfest està estretament relacionat amb el teorema de Liouville de la mecànica hamiltoniana, que implica el suport de Poisson en lloc d'un commutador. La regla general de Dirac suggereix que les afirmacions de la mecànica quàntica que contenen un commutador corresponen a les afirmacions de la mecànica clàssica on el commutador és suplantat per un suport de Poisson multiplicat per iħ. Això fa que els valors d'expectativa de l'operador obeeixin a les equacions clàssiques de moviment corresponents, sempre que l'hammiltonià sigui com a màxim quadràtic en les coordenades i moments. En cas contrari, les equacions d'evolució encara poden mantenir aproximadament, sempre que les fluctuacions siguin petites.