Teorema de Clairaut

En matemàtiques, el teorema de Clairaut (també conegut com a teorema de Schwarz o de Young) mostra la igualtat de les derivades creuades d'una funció f sempre que:

${\displaystyle f\colon \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

tingui derivades parcials contínues per qualsevol punt del domini obert ${\displaystyle \Omega }$, per exemple, prenguem el punt ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in \Omega }$, llavors, segons aquest teorema, per qualssevol ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ tenim que:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

Aquest teorema deu el seu nom al matemàtic i astrònom francès Alexis Clairaut.

Una conseqüència immediata d'això és que, si es compleixen les condicions del teorema de Clairaut, la matriu hessiana de la funció f serà simètrica.