Teorema de Stone-Weierstrass

En l'anàlisi matemàtica, el teorema d'aproximació de Weierstrass estableix que tota funció contínua definida en un interval tancat [a, b] es pot aproximar uniformement tan a prop com ho desitgi una funció polinòmica. Com que els polinomis es troben entre les funcions més simples, i perquè els ordinadors poden avaluar polinomis directament, aquest teorema té rellevància tant pràctica com teòrica, especialment en la interpolació polinomial. La versió original d'aquest resultat va ser establerta per Karl Weierstrass el 1885 mitjançant la transformada de Weierstrass.^[1]

Marshall H. Stone va generalitzar considerablement el teorema i va simplificar la demostració. El seu resultat es coneix com el teorema de Stone-Weierstrass. El teorema de Stone–Weierstrass generalitza el teorema d'aproximació de Weierstrass en dues direccions: en comptes de l'interval real [a, b], es considera un espai X de Hausdorff compacte arbitrari, i en lloc de l'àlgebra de les funcions polinomials, una varietat d'altres famílies de contínues funcions activades ${\displaystyle X}$ es mostren suficients, tal com es detalla a continuació. El teorema de Stone–Weierstrass és un resultat vital en l'estudi de l'àlgebra de funcions contínues en un espai compacte de Hausdorff.^[2]

A més, hi ha una generalització del teorema de Stone–Weierstrass als espais de Tychonoff no compactes, és a dir, qualsevol funció contínua en un espai de Tychonoff s'aproxima uniformement en conjunts compactes mitjançant àlgebres del tipus que apareix en el teorema de Stone–Weierstrass i que es descriu a continuació.^[3]

Una generalització diferent del teorema original de Weierstrass és el teorema de Mergelyan, que el generalitza a funcions definides en determinats subconjunts del pla complex.