Teoria potencial

En matemàtiques i física matemàtica, la teoria del potencial és l'estudi de les funcions harmòniques.^[1]

El terme "teoria del potencial" es va encunyar a la física del segle XIX quan es va adonar que dues forces fonamentals de la natura conegudes en aquell moment, és a dir, la gravetat i la força electroestàtica, es podien modelar mitjançant funcions anomenades potencial gravitatori i potencial electroestàtic, ambdues de que compleixen l'equació de Poisson —o en el buit, l'equació de Laplace.^[2]

Hi ha una superposició considerable entre la teoria del potencial i la teoria de l'equació de Poisson en la mesura que és impossible establir una distinció entre aquests dos camps. La diferència és més una d'èmfasi que de la matèria i es basa en la distinció següent: la teoria del potencial se centra en les propietats de les funcions en oposició a les propietats de l'equació. Per exemple, es diria que un resultat sobre les singularitats de les funcions harmòniques pertany a la teoria del potencial, mentre que un resultat sobre com la solució depèn de les dades del límit es diria que pertany a la teoria de l'equació de Laplace. Aquesta no és una distinció dura i ràpida, i a la pràctica hi ha una superposició considerable entre els dos camps, amb mètodes i resultats d'un s'utilitzen en l'altre.^[3]

La teoria del potencial modern també està íntimament relacionada amb la probabilitat i la teoria de les cadenes de Màrkov. En el cas continu, això està estretament relacionat amb la teoria analítica. En el cas de l'espai d'estats finits, aquesta connexió es pot introduir introduint una xarxa elèctrica a l'espai d'estats, amb resistència entre punts inversament proporcional a les probabilitats de transició i densitats proporcionals als potencials. Fins i tot en el cas finit,l'IK analògic del laplacià en la teoria del potencial té el seu propi principi de màxim, principi d'unicitat, principi d'equilibri i altres.^[4]