Teoria K

En matemàtiques, la teoria K és, a grans trets, l'estudi d'un anell generat per paquets vectorials sobre un espai o esquema topològic. En topologia algebraica, és una teoria de cohomologia coneguda com a teoria K topològica. En àlgebra i geometria algebraica, es coneix com a teoria K algebraica. També és una eina fonamental en el camp de l'àlgebra d'operadors. Es pot veure com l'estudi de certs tipus d'invariants de matrius grans.^[1]

La teoria K implica la construcció de famílies de K-funtors que mapegen des d'espais o esquemes topològics, o per ser encara més general: qualsevol objecte d'una categoria d'homotopia als anells associats; aquests anells reflecteixen alguns aspectes de l'estructura dels espais o esquemes originals. Igual que amb els functors a grups en la topologia algebraica, la raó d'aquest mapeig funcional és que és més fàcil calcular algunes propietats topològiques a partir dels anells mapats que a partir dels espais o esquemes originals. Alguns exemples de resultats obtinguts de l'enfocament de la teoria K inclouen el teorema de Grothendieck–Riemann–Roch, la periodicitat de Bott, el teorema de l'índex d'Atiyah–Singer i les operacions d'Adams.^[2]

En la física d'altes energies, la teoria K i, en particular, la teoria K retorçada han aparegut a la teoria de cordes de tipus II on s'ha conjecturat que classifiquen les D-branes, les intensitats de camp de Ramond-Ramond i també certs espinors en varietats complexes generalitzades. En física de la matèria condensada s'ha utilitzat la teoria K per classificar aïllants topològics, superconductors i superfícies de Fermi estables. Per a més detalls, vegeu Teoria K (física).^[3]