Dekonvoluce

V matematice je dekonvoluce algoritmický proces používaný pro odstranění efektu konvoluce na zaznamenaná data.^[1] Myšlenka dekonvoluce se široce používá při zpracování signálu a zpracování obrazu. Protože tyto techniky se následně používají v mnoha různých vědeckých a inženýrských oblastech, dekonvoluce má mnoho aplikací.

Obecně, cílem dekonvoluce je najít řešení konvoluční rovnice ve tvaru:

${\displaystyle f*g=h\,}$

Obvykle h je zaznamenaný signál a ƒ je signál, který chceme zrekonstruovat, ale který byl transformován konvolučním signálem g předtím, než jsme jej zaznamenali. Funkce g může reprezentovat přenosovou funkci nástroje anebo sílu, která působí na fyzikální systém. Pokud známe g nebo aspoň známe tvar g, pak lze provést deterministickou dekonvoluci. Pokud g před dekonvolucí neznáme, pak ji musíme odhadnout. K tomu se nejčastěji používají metody statistického odhadu.

Při fyzikálních měřeních je obvykle vhodnější popis ve tvaru

${\displaystyle (f*g)+\varepsilon =h\,}$

V tomto případě ε je šum, který mění námi zaznamenaný signál. Pokud předpokládáme, že zašuměný signál nebo obraz jsou bez šumu, když statisticky odhadujeme g, pak dostaneme nesmyslné odhady. Následně zrekonstruovaný signál ƒ bude též nesprávný. Čím nižší je poměr signálu k šumu, tím horší bude odhad signálu po dekonvoluci. To je obvykle důvod, proč inverzní filtrace signálu není vhodné řešení. Ale pokud máme aspoň nějakou znalost o druhu šumu v datech (např. bílý šum), pak případně můžeme být schopni zlepšit odhad ƒ pomocí metod jako např. Wienerova dekonvoluce (pomocí Wienerova filtru).

Základy teorie dekonvoluce a analýzy časových řad zpracoval Norbert Wiener z MIT ve své knize Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series (1949).^[2] Tato kniha byla založena na práci Wienera během druhé světové války, která ale byla v té době tajná. Některé z prvních pokusů aplikovat tyto teorie byly v oblastech předpovědi počasí a ekonomie.