Kategorie (matematika)

Kategorie (též abstraktní kategorie pro rozlišení od konkrétní kategorie) je v matematice kolekce „objektů“, které jsou propojeny „šipkami“. Kategorie má dvě základní vlastnosti: schopnost skládat šipky asociativně a existenci identické šipky pro každý objekt. Jednoduchým příkladem je kategorie množin Set, jejímiž objekty jsou množiny a jejímiž šipkami jsou zobrazení (funkce).

Teorie kategorií je obor matematiky, který se snaží zobecnit veškerou matematiku v termínech kategorií, nezávisle na tom, co jejich objekty a šipky představují. Prakticky každé odvětví moderní matematiky lze popsat v termínech kategorií, což často odhaluje hluboké poznatky a podobnosti mezi zdánlivě odlišnými oblastmi matematiky. Teorie kategorií poskytuje základ matematiky, který je alternativou k teorii množin a jiným navrhovaným axiomatickým základům. Obecně platí, že objekty a šipky mohou být abstraktními entitami libovolného druhu a pojem kategorie poskytuje základní a abstraktní způsob popisu matematických entit a jejich vztahů.

Kromě formalizace matematiky se teorie kategorií používá také k formalizaci mnoha jiných systémů v matematické informatice, např. sémantiky programovacích jazyků.

Klasickým a stále často používaným textem o teorii kategorií je kniha „Categories for the Working Mathematician“ Saunderse Mac Lanea. Další literatura je uvedena na konci článku v části Reference. Základní definice z tohoto článku jsou obsaženy v prvních několika kapitolách libovolné z těchto knih.

Za speciální druh kategorie lze považovat libovolný monoid (kategorie má jediný objekt tvořený nosičem monoidu, a morfismy představují prvky monoidu); podobně lze za speciální druh kategorie považovat libovolné uspořádání.