Limita posloupnosti

Limita nekonečné posloupnosti bodů je pojem používaný v matematické analýze a topologii. Limitou je bod, k němuž se posloupnost přiblíží libovolně (méně přesně řečeno: „nekonečně“) blízko; pak říkáme, že posloupnost k tomuto bodu konverguje.

Pojem „bod“ přitom může znamenat např. reálné číslo (jako bod na reálné ose), komplexní číslo, bod v rovině, prostoru (i vícerozměrném), nebo v jakémkoli metrickém či dokonce topologickém prostoru. Ve všech těchto případech platí, že bod ${\displaystyle A}$ je limitou nekonečné posloupnosti ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, právě když v každém (tj. „sebemenším“) jeho okolí leží všechny členy posloupnosti od jistého indexu ${\displaystyle n_{0}}$, nebo ekvivalentně: všechny členy až na konečně mnoho. Liší se ovšem definice pojmu „okolí“.

V případě reálných čísel je tedy limitou posloupnosti ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ takové reálné číslo ${\displaystyle A}$, k němuž pro každé (tj. „sebemenší“) kladné reálné číslo ${\displaystyle \varepsilon }$ existuje přirozené číslo ${\displaystyle n_{0}}$ takové, že pro každé přirozené ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ platí ${\displaystyle |a_{n}-A|<\varepsilon }$, tj. ${\displaystyle n}$-tý člen posloupnosti leží v ${\displaystyle \varepsilon }$-okolí čísla ${\displaystyle A}$.

• Například posloupnost ${\displaystyle \{1\}}$ samých jedniček konverguje k jedničce, zatímco ${\displaystyle \{1/n\}=\{1;1/2;1/3;1/4;1/5;\ldots \}}$ k nule.

• Posloupnosti ${\displaystyle \{n\}=\{1;2;3;4;5;\ldots \}}$, ${\displaystyle \{n^{2}\}=\{1;4;9;16;25;\dots \}}$ a ${\displaystyle \{2^{n}\}=\{2;4;8;16;32;\ldots \}}$ nekonvergují k žádnému reálnému číslu, ale „libovolně se přiblíží“ k nekonečnu: dosahují hodnot vyšších než sto, než milion i než jakékoli jiné reálné číslo. To se nazývá divergence k ${\displaystyle +\infty }$. Říkáme též, že ${\displaystyle +\infty }$ je jejich nevlastní limita. Podobně posloupnost záporných faktoriálů ${\displaystyle \{-n!\}=\{-1;-2;-6;-24;-120;\ldots \}}$ diverguje k ${\displaystyle -\infty }$. Aby bylo možné pracovat jednotně s vlastní i nevlastní limitou, byl vytvořen pojem rozšířená reálná čísla.

• Posloupnosti, které nejsou konvergentní ani divergentní, se nazývají oscilující. Příkladem je posloupnost ${\displaystyle \{-1^{n}\}=\{-1;1;-1;1;-1;1;\}}$. Rovněž posloupnost ${\displaystyle \{n*(-1)^{n}\}=\{-1;2;-3;4;-5;6;\ldots \}}$ osciluje, tj. nemá vlastní ani nevlastní limitu. Sice se k nekonečnu „libovolně přiblíží“, ale v té blízkosti nezůstane.

V reálných číslech i ostatních metrických prostorech může mít posloupnost nejvýše jednu limitu; v některých topologických prostorech to však neplatí. Posloupnost nemusí mít žádnou limitu. Metrický prostor, v němž má limitu každá cauchyovská posloupnost - tj. taková, jejíž prvky se k sobě navzájem libovolně („nekonečně“) blíží - nazýváme úplným prostorem. Takovým jsou např. reálná čísla, ale ne racionální čísla.

Pojem konvergence posloupnosti se liší od konvergence řady: například posloupnost ${\displaystyle \{1/n\}}$ konverguje jako posloupnost k nule, ale jako řada diverguje k plus nekonečnu.