Sinusrelation

Sinusrelationen er en matematisk formel inden for trigonometrien, der sammenfatter længden af en trekants sider og størrelsen af dens vinkler i et regneudtryk: Dividerer man længden af en side med sinus til den modstående vinkel, får man samme forholdstal for alle tre "par" af sider og modstående vinkler. Almindeligvis kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C, og med den notation ser formlen således ud:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$

hvor R er radius i trekantens omskrevne cirkel.

Til beregning af vinklerne i en trekant kan denne omskrivning bruges:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}$

Bemærk at sinusrelationen gælder for alle trekanter.^[1]

Formlen kan bruges til at finde enten sidelængder eller vinkler i en trekant ved at lave en ligning ud af to af de tre brøker, og isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. I sidstnævnte tilfælde fås, at sinus til en vinkel er lig med en given størrelse – og sådan en ligning har to principale løsninger: en stump eller en spids vinkel. Da det gælder, at ${\displaystyle \sin(180-v)=\sin(v)}$ kan man ikke se forskel på stump eller spids, og der kan være to løsninger til trekanten. Derfor bruges sinusrelationen kun til at bestemme vinkler i trekanter, hvor cosinusrelationerne eller andre formler ikke giver entydige løsninger.

1. ^ Holth (1987) s. 59