Von Kochs snefnug

von Kochs snefnug, tillige kendt som Koch-kurven, blev beskrevet af matematikeren Helge von Koch i en artikel med titlen "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire", publiceret 1904 i Arkiv för matematik, astronomi och fysik. Hensigten med artiklen var at give et geometrisk mere tiltalende eksempel på en kontinuerlig kurve som savner tangent i alle punkter end det, som Karl Weierstrass havde opdaget i 1861. Siden er Koch-kurven tillige kendt som en af de tidligst beskrevne fraktaler, et begreb som formuleredes 70 år senere.

Koch-kurvens definition:

1. Tag en linje.
2. Del linjen i tre lige store dele.
3. Lav en kopi af den mellemste del.
4. Stil de to kopier i vinkel mod hverandre, så at de får plads inden for samme strækning som en ensom linje ellers gør.
5. Gentag (iterer) fra trin 2 for alle de nye linjer, som er kommet frem ved operationen.

Antallet af nye linjer at operere på bliver hele tiden 4 gange det tidligere antal linjer, så antallet af linjer efter n iterationer bliver følgelig 4ⁿ. Linjen vokser i længde med en tredjedel i hver ny iteration og kommer således til sidst at blive en uendeligt lang kurve men inden for en begrænset flade. Derfor er kurvens dimensionstal ikke et heltal. Det er anledningen til, at Koch-kurven er en fraktal, (af lat; fractus, brøkdel). Koch-kurvens Hausdorffdimension er ${\displaystyle \ln 4/\ln 3\approx 1,261860}$.