Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt, nämlich auf wie viele verschiedene Arten man aus einer Menge von ${\displaystyle n}$ verschiedenen Objekten jeweils ${\displaystyle k}$ Objekte auswählen kann (ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge). Der Binomialkoeffizient ist also die Anzahl der ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen in der Potenzmenge einer ${\displaystyle n}$-elementigen Grundmenge.

„49 über 6“ in Deutschland bzw. „45 über 6“ in Österreich und der Schweiz ist z. B. die Anzahl der möglichen Ziehungen beim Lotto (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl).

Ein Binomialkoeffizient hängt von zwei nichtnegativen ganzen Zahlen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ ab. Er wird mit dem Symbol

${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$

geschrieben und als „n über k“, „k aus n“ oder „n tief k“ gesprochen. Die englische Abkürzung nCr für n choose r findet sich als Beschriftung auf Taschenrechnern.

Den Namen erhielten diese Zahlen, da sie als Koeffizienten in den Potenzen des Binoms ${\displaystyle x+y}$ auftreten; es gilt der sogenannte binomische Lehrsatz:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n}&={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y+\dotsb +{\binom {n}{n-1}}xy^{n-1}+{\binom {n}{n}}y^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\end{aligned}}}$

Eine Erweiterung des aus der Kombinatorik stammenden Binomialkoeffizienten stellt der allgemeine Binomialkoeffizient dar, der in der Analysis verwendet wird.