Boyer-Lindquist-Koordinaten

In der mathematischen Beschreibung der allgemeinen Relativitätstheorie stellen die Boyer-Lindquist-Koordinaten eine Verallgemeinerung der Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik dar. Sie finden insbesondere bei der Beschreibung eines rotierenden Schwarzen Loches Anwendung, d. h. bei Verwendung der Kerr-Metrik (im ungeladenen Fall) bzw. der Kerr-Newman-Metrik (im geladenen Fall).

Die Koordinatentransformation von Boyer-Lindquist-Koordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ in kartesische Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$ ist gegeben durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi \\y&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

Der Radius r der Boyer-Lindquist-Koordinaten entspricht dem Polradius (θ = 0). Dies ist bei der Kerr-Metrik auch der Schwarzschildradius, der sich aus der irreduziblen Masse ergibt.

${\displaystyle r=r_{z}=z(0)=2M_{irr}G/c^{2}=r_{G}+{\sqrt {r_{G}^{2}-a^{2}-Q^{2}}}}$

Der Äquatorradius (θ = π/2) beträgt

${\displaystyle r_{a}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}$

Innerhalb der Kerr-Newman-Metrik ist das Linienelement für ein Schwarzes Loch mit der Masse ${\displaystyle M}$, dem Drehimpuls ${\displaystyle J}$ und der Ladung ${\displaystyle Q}$ ist in Boyer-Lindquist-Koordinaten unter Verwendung natürlicher Einheiten (${\displaystyle c=G=k_{\mathrm {C} }=1}$) gegeben durch

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left(\mathrm {d} t-a\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)\mathrm {d} \phi -{a}\mathrm {d} t\right]^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\Sigma \mathrm {d} \theta ^{2},}$

wobei folgende Abkürzungen benutzt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &:=r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}\\\Sigma &:=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \\a&:=J/M\end{aligned}}}$

Zu beachten ist hierbei, dass die Größen ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle Q}$ in natürlichen Einheiten alle die Maßeinheit einer Länge besitzen.^[1]

1. ↑ Brandon Carter: Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields. In: Physical Review. Band 174, Nr. 5, 25. Oktober 1968, S. 1559–1571, doi:10.1103/PhysRev.174.1559 (online).