Brocard-Achse

Die Brocard-Achse, benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845–1922), ist eine der besonderen Linien der Dreiecksgeometrie. Sie ist diejenige Gerade, die durch den Umkreismittelpunkt und den Lemoine-Punkt eines Dreiecks geht.^[1] Sie ist assoziiert zum Dreieckszentrum ${\displaystyle X_{523}}$.^[1] Im Falle eines gleichseitigen Dreiecks ist die Brocard-Achse nicht definiert.

In trilinearen Koordinaten ${\displaystyle (x:y:z)}$ ausgedrückt, hat die Brocard-Achse die Gleichung^[1]

${\displaystyle bc(b^{2}-c^{2})\,x+ca(c^{2}-a^{2})\,y+ab(a^{2}-b^{2})\,z=0}$ oder (gleichwertig)

${\displaystyle \sin(\beta -\gamma )\,x+\sin(\gamma -\alpha )\,y+\sin(\alpha -\beta )\,z=0.}$

Die Brocard-Achse ist die Symmetrieachse des 1. und 2. Brocard-Punkts.^[2]

Neben dem Umkreismittelpunkt (${\displaystyle X_{3}}$) und dem Lemoine-Punkt (${\displaystyle X_{6}}$) liegen auch die isodynamischen Punkte (${\displaystyle X_{15}}$ und ${\displaystyle X_{16}}$) sowie der Mittelpunkt des Taylor-Kreises (${\displaystyle X_{389}}$) auf der Brocard-Achse.^[3]

1. ↑ ^{a b c} Eric W. Weisstein: Brocard Axis. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 164. 
3. ↑ Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, Central Lines (95). Abgerufen am 26. Januar 2025 (englisch).