Die Bezeichnung Buekenhout-Tits Geometrie[1] (auch Buekenhout-Geometrie[2] oder Diagramm-Geometrie[3] genannt) steht in der Geometrie für eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe projektive Geometrie, affine Geometrie, Blockplan, linearer Raum und vieler weiterer verwandter Begriffe. Das Konzept wurde in den Jahren nach 1956 maßgeblich von Jacques Tits und später seinem Schüler Francis Buekenhout entwickelt, nach denen es inzwischen auch benannt ist. Die Grundidee dieses Konzeptes ist es, von Details der geometrischen Struktur weitgehend abzusehen und dafür die Eigenschaften klassischer Strukturen und deren Verallgemeinerungen zu untersuchen, die mit dem klassischen geometrischen Begriff „Fahne“ verbunden sind.
Die Diagramm-Geometrie wurde von Tits mit einigem Erfolg auf (nichtkommutative) endliche einfache Gruppen und deren Klassifikation angewandt.[4] Diese Gruppen lassen sich mit rein gruppentheoretischen Methoden bis heute kaum weiter sinnvoll zerlegen: Ihr Normalteilerverband ist trivial und ihr Untergruppenverband schon bei den kleinsten Vertretern zu groß und in seiner Struktur zu wenig charakteristisch, als dass er einen Ansatzpunkt für Untersuchungen, geschweige denn eine Klassifikation bieten könnte. Andererseits ist lange bekannt, dass viele der einfachen Gruppen auf klassischen geometrischen Strukturen oder deren Verallgemeinerungen als volle Automorphismengruppen oder als eine deren Unter- oder Faktorgruppen operieren (siehe als Beispiel Wittscher Blockplan), häufig sind diese „geometrischen“ Strukturen projektive Ebenen oder (allgemeiner) Blockpläne. Der Ansatz von Tits bestand zunächst darin, einer Gruppe, die auf geometrischen Strukturen unterschiedlicher Art als Gruppe von Automorphismen operiert, eine geeignete „zusammengesetzte, geometrische“ Struktur zuzuordnen, die möglichst viele wesentliche Informationen der verschiedenen Ausgangsstrukturen widerspiegelt.[4]
Eine weitere wichtige Anwendung liegt in der Untersuchung von induzierten Geometrien, die sich zum Beispiel aus quadratischen Mengen auf endlichen projektiven Räumen ergeben, vergleiche die Abbildung am Ende der Einleitung.[1] Historisch bemerkenswert ist, dass bereits im Jahr 1896 Eliakim Hastings Moore[6] ein Konzept für eine abstrakte Geometrie, die im Wesentlichen der Diagramm-Geometrie entspricht, vorgeschlagen hat.[7] Zu Moores Zeiten wurde dies aber nicht weiter verfolgt.
- ↑ a b Beutelspacher und Rosenbaum 2004.
- ↑ Tits (1981)
- ↑ Buekenhout (1981)
- ↑ a b Tits (1956)
- ↑ Beutelspacher und Rosenbaum (2004) 4.7: Die Kleinsche quadratische Menge
- ↑ Moore (1896)
- ↑ Buekenhout (1981), S. 2: „Strangely enough the concept of geometry as presented here appears very clearly in a paper of E. H. Moore as early as 1896!“ – Gemeint ist der Artikel Moore (1896)