Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine stetige, leptokurtische (supergaußförmige) Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Anschaulich gesprochen beschreibt sie die tangentiale Auslenkung eines Pendels. Hat das Pendel die Länge ${\displaystyle s}$, Ruheposition ${\displaystyle t}$ und einen über dem Intervall ${\displaystyle (-90{\text{°}},90{\text{°}})}$ gleichverteilten Auslenkungswinkel ${\displaystyle U}$, so ist die Position ${\displaystyle X=s\tan(U)+t}$ Cauchy-verteilt mit den Parametern ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle t}$.^[1]

Die Cauchy-Verteilung tritt außerdem als die Verteilung einer Zufallsvariable ${\displaystyle Z=X/Y}$ auf, die das Verhältnis zweier Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ mit einer rotationsinvarianten gemeinsamen Dichte ist (z. B. zwei unabhängige zentrierte normalverteilte Zufallsvariablen).^[2]

Ferner ist sie in der Physik für eine genäherte Beschreibung von Resonanz von Bedeutung. Sie wird dort Resonanzkurve oder Lorentzkurve (nach Hendrik Antoon Lorentz) genannt. Daher gibt es auch die Bezeichnungen Lorentz-Verteilung und Cauchy-Lorentz-Verteilung.

1. ↑ Wolfgang Bühler: Die Cauchy-Verteilung und das Gesetz der großen Zahlen. In: Monoid. Jahrgang 30, Nr. 103. Universität Mainz, 2010, S. 16–18 (uni-mainz.de [PDF]). 
2. ↑ Norbert Henze: Stochastik: Eine Einführung mit Grundzügen der Maßtheorie. Springer Spektrum, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-59562-6, S. 144.