Dirichletsche L-Funktion

Unter Dirichletschen L-Funktionen versteht man eine Familie spezieller mathematischer Funktionen, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielen. Ihr Namensgeber Peter Gustav Lejeune Dirichlet verwendete sie erstmals beim Beweis des sog. Dirichletschen Primzahlsatzes. Bezeichnet werden sie üblicherweise mit dem Symbol ${\displaystyle L(s,\chi )}$, wobei ${\displaystyle \chi }$ ein Dirichlet-Charakter und ${\displaystyle s}$ eine komplexe Zahl ist.

Für Werte ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ mit Realteil größer als 1 sind alle Dirichletschen L-Funktionen über eine Dirichlet-Reihe definiert – nämlich die Dirichlet erzeugte Funktion von ${\displaystyle \chi (n)}$. Ist der Charakter zudem nicht-prinzipal, d. h., er nimmt auch Werte außer 0 und 1 in den ganzen Zahlen an, gilt die Reihendarstellung sogar für Werte mit positivem Realteil. Mittels analytischer Fortsetzung kann ${\displaystyle L(s,\chi )}$ zu einer auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ holomorphen Funktion ausgeweitet werden, wobei im Falle eines Hauptcharakters in ${\displaystyle s=1}$ ein Pol erster Ordnung vorliegt. In allen anderen Fällen ist sogar eine ganze Fortsetzung möglich. Die ${\displaystyle L(s,\chi )}$ erfüllen wichtige Funktionalgleichungen.

Bedeutsam für die Zahlentheorie ist, dass aufgrund der vollständigen Multiplikativität der Charaktere jede Dirichletsche L-Funktion in ein Euler-Produkt entwickelt werden kann. Dies liefert die entscheidenden Informationen und Anwendungen auf die Theorie der Primzahlen und gab Dirichlet die Mittel zum Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes.

Das Verhalten der Dirichletschen L-Funktionen gilt in den Bereichen ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)\geq 1}$ und ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)\leq 0}$ als weitgehend verstanden. Jedoch sind ihre Eigenschaften innerhalb des kritischen Streifens ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ weitestgehend unbekannt und Gegenstand bedeutender Vermutungen. Dies betrifft unter anderem die Fragen nach asymptotischem Wachstum in imaginärer Richtung und der für die Zahlentheorie so wichtigen Nullstellenverteilungen. Nach heutigem Wissensstand beschreiben die Dirichletschen L-Funktionen im Streifen ${\displaystyle 1/2<\operatorname {Re} (s)<1}$ im Wesentlichen Chaos. Anwendungsgebiete sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der automorphen Formen (insbesondere im Feld des Langlands-Programms).

Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie sind die Dirichletschen L-Funktionen nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So bilden Produkte dieser Funktionen Dedekindsche Zeta-Funktionen zu abelschen Erweiterungen. Wichtige Spezialfälle dirichletscher L-Funktionen sind die Riemannsche Zeta-Funktion und die Dirichletsche Beta-Funktion.