Drehgruppe

Die Drehgruppe im engeren Sinn ist die spezielle orthogonale Gruppe ${\displaystyle \mathop {\mathrm {SO} } (n)}$ oder auch ${\displaystyle \mathop {\mathrm {SO} } (n,\mathbb {R} )}$ aller Drehungen im reellen dreidimensionalen Raum (falls ${\displaystyle n=3}$) oder in der reellen Ebene (falls ${\displaystyle n=2}$), in letzterem Fall heißt sie Kreisgruppe. Ihre Elemente sind die Drehmatrizen, also orthogonale Matrizen mit Determinante eins.

Daneben wird eine Untergruppe dieser reellen Gruppen als Drehgruppe einer zwei- oder dreidimensionalen Figur bezeichnet, wenn sie alle Drehungen umfasst, die die Figur auf sich selbst abbilden, also die Untergruppe der Drehungen in der Symmetriegruppe des Körpers bzw. der Figur ist. Zur Unterscheidung wird die ${\displaystyle \mathop {\mathrm {SO} } (n)}$ die volle ${\displaystyle n}$-dimensionale Drehgruppe genannt.

Im weiteren und übertragenen Sinn werden die speziellen orthogonalen Gruppen – das sind die Untergruppen der reellen allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathop {\mathrm {GL} } (n,\mathbb {R} )}$, deren Elemente orthogonale Matrizen mit Determinante eins sind – auch für höhere Dimensionen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n>3}$ als (volle) Drehgruppen bezeichnet.