Erweiterter euklidischer Algorithmus

Der erweiterte euklidische Algorithmus ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er berechnet neben dem größten gemeinsamen Teiler ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)}$ zweier natürlicher Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ noch zwei ganze Zahlen ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle t}$, die die folgende Gleichung erfüllen:

${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b}$

Der Algorithmus ist eine Erweiterung des bereits in der Antike bekannten euklidischen Algorithmus, der nur den größten gemeinsamen Teiler berechnet.

Das Haupteinsatzgebiet des erweiterten euklidischen Algorithmus ist die Berechnung der inversen Elemente in ganzzahligen Restklassenringen, denn wenn der Algorithmus das Tripel ${\displaystyle (d=\operatorname {ggT} (a,b),s,t)}$ ermittelt, ist entweder ${\displaystyle d=1}$ und damit ${\displaystyle 1\equiv t\cdot b{\pmod {a}}}$, ${\displaystyle t}$ also das multiplikative Inverse von ${\displaystyle b}$ modulo ${\displaystyle a,}$ oder aber ${\displaystyle d\neq 1,}$ was bedeutet, dass ${\displaystyle b}$ modulo ${\displaystyle a}$ kein Inverses hat. Dies ist die Grundlage für die Lösung von diophantischen Gleichungen oder allgemeiner von ganzzahligen linearen Gleichungssystemen. Ebenso ist die Bestimmung inverser Elemente eine Grundlage für den chinesischen Restsatz, welcher wiederum Grundlage des bedeutenden Tricks der kleinen Primzahlen in der berechenbaren Algebra ist. Dabei wird eine Aufgabe in mehreren endlichen Körpern gelöst und diese Teillösungen in immer größere Restklassenringe gehoben, bis sich eine ganzzahlige Lösung ablesen lässt. Der Algorithmus liefert zudem einen konstruktiven Beweis für das Lemma von Bézout, also ${\displaystyle 1=s\cdot a+t\cdot b}$.

Die am weitesten bekannte Version des euklidischen Algorithmus bezieht sich auf den Bereich der ganzen Zahlen. Jedoch kann er auf jeden Ring angewandt werden, in welchem eine Division mit kleinstem Rest durchgeführt werden kann. Solche Ringe werden euklidisch genannt, ein Beispiel ist der Polynomring in einer Variablen mit rationalen oder reellen Koeffizienten. In diesem kann immer ein eindeutig bestimmter Rest mit kleinstem Grad gefunden werden.