Isotopie[1] ist in der synthetischen Geometrie eine Abschwächung der Isomorphie (von Körpern und Schiefkörpern) für Ternärkörper (und speziellere verallgemeinerte Körper wie Quasikörper und Halbkörper). Durch den Begriff Isotopie wird der Tatsache Rechnung getragen, dass für nichtdesarguessche projektive Ebenen die algebraische Struktur des Koordinatenbereiches der Ebene durch ihre geometrische Struktur im Allgemeinen nicht „bis auf Isomorphie“ eindeutig bestimmt ist. Es konnte aber gezeigt werden[1], dass die Koordinatenternärkörper zweier projektiver Ebenen, die geometrisch isomorph sind, stets algebraisch isotop sind und dass umgekehrt projektive Ebenen, die durch isotope Ternärkörper koordinatisiert werden können, stets geometrisch isomorph sind. Erst mit den von Hans-Joachim Arnold entwickelten projektiven Relativen aus der Geometrischen Relationenalgebra kehren die Übergangsverfahren der Algebraisierung und Geometrisierung synonym, d. h. bis auf Isomorphie, in seinem projektiven Klassifikationssatz einander um.[2] In Analogie zu den entsprechenden von Isomorphie abgeleiteten Begriffen spricht man von isotopen verallgemeinerten Körpern, wenn ein Tripel von umkehrbaren Abbildungen mit bestimmten strukturerhaltenden Eigenschaften zwischen diesen Körpern existiert, und nennt das Abbildungstripel dann einen Isotopismus.
→ Isotopismen von Ternärkörpern sind ein Spezialfall der Isotopismen von Quasigruppen. Siehe dazu Quasigruppe#Morphismen.
- ↑ a b Knuth (1963)
- ↑ Arnold, H.-J.: Der projektive Abschluß affiner Geometrien mit Hilfe relationentheoretischer Methoden. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 40, Universität Berlin, Hamburg 1974, S. 197–214. doi:10.1007/BF02993598.