Kombinatorische Spieltheorie

Kombinatorische Spieltheorie ist ein von John Horton Conway ca. 1970 begründeter Zweig der Mathematik, der sich mit einer speziellen Klasse von Zwei-Personen-Spielen befasst.

Die Eigenschaften dieser Spiele, die auch als kombinatorische Spiele bezeichnet werden, sind:

• Kein Zufallseinfluss.
• Es gibt keine für einen einzelnen Spieler verborgene Information (wie bei Spielkarten), d. h., es liegt perfekte Information vor.
• Gezogen wird abwechselnd.
• Es gewinnt derjenige Spieler, dem es gelingt, den letzten Zug zu machen (eine Ausnahme sind Misère-Versionen, bei denen der zuletzt ziehende Spieler verliert).
• Jede Partie endet nach einer endlichen Zahl von Zügen.

Solche Spiele, zu denen Nim und (nach geringfügigen Regeltransformationen) Go und Schach gehören, eröffnen besonders dann interessante Möglichkeiten der mathematischen Analyse, wenn sie in Komponenten zerfallen, bei denen es keine gegenseitige Beeinflussung der Zugmöglichkeiten gibt. Beispiele sind Nim-Haufen und einige späte Endspielpositionen im Go; auch im Schach lassen sich einige Zugzwang-Positionen bei Bauernendspielen so deuten. Das Zusammensetzen von Positionen wird auch als Addition bezeichnet.

Die mathematische Bedeutung der kombinatorischen Spieltheorie resultiert daraus, dass die Spiele einer Unterklasse als Zahlen gedeutet werden können. Dabei lassen sich sowohl ganze als auch reelle und sogar transfinite (d. h. unendlich große und unendlich kleine) Zahlen konstruieren, deren Gesamtheit man auch surreale Zahlen nennt. Umgekehrt erscheinen die Spiele der kombinatorischen Spieltheorie als Verallgemeinerung der surrealen Zahlen.