Kommutatorgruppe

In der Mathematik bezeichnet die Kommutatorgruppe (oder Kommutator-Untergruppe) zu einer Gruppe ${\displaystyle G}$ diejenige Untergruppe, die von den Kommutatoren ${\displaystyle [a,b]:=aba^{-1}b^{-1}}$ in der Gruppe ${\displaystyle G}$ erzeugt wird:

${\displaystyle K(G):=\left\langle \,\left\{[a,b]\mid \ a,b\in G\right\}\,\right\rangle .}$

Die Kommutatorgruppe wird auch mit ${\displaystyle [G,G]}$ und mit ${\displaystyle G'}$ (oder ${\displaystyle G^{(1)}}$) bezeichnet und abgeleitete Gruppe (von ${\displaystyle G}$) genannt.

Im Allgemeinen ist die Menge aller Kommutatoren ${\displaystyle \left\{[a,b]\mid \ a,b\in G\right\}}$ keine Gruppe, die Phrase „erzeugt von“ in der Definition (gleichbedeutend mit den spitzen Klammern ${\displaystyle \left\langle \,\right\rangle }$ in der Formel) kann also nicht weggelassen werden.^[1][2][3]

Die Ordnung der Kommutatorgruppe ist ein Maß, wie weit eine Gruppe von der Kommutativität entfernt ist. Eine Gruppe ist genau dann kommutativ (abelsch), wenn ihre Kommutatorgruppe nur aus dem neutralen Element, genannt ${\displaystyle e}$, besteht. In diesem Falle gilt nämlich ${\displaystyle [a,b]=e}$ für alle ${\displaystyle a,b\in G}$. Im Gegensatz dazu heißen Gruppen, bei denen die Kommutatorgruppe die ganze Gruppe umfasst, perfekte Gruppen.

1. ↑ Dr. Ludwig Baumgartner Gruppentheorie Sammlung Göschen Band 837/837a S. 99
2. ↑ Robert M. Guralnick: Commutators and commutator subgroups ADVANCES IN MATHEMATICS 45, 319-330 (1982)
3. ↑ In der über ${\displaystyle a,b}$ freien Gruppe ${\displaystyle F:=\left\langle a,b\right\rangle }$ ist ${\displaystyle [a,b]^{2}}$ kein Kommutator.
   Beweis: Angenommen, es gäbe ${\displaystyle x,y\in F}$ mit
   

   ${\displaystyle [a,b]^{2}=aba^{-1}b^{-1}aba^{-1}b^{-1}=xyx^{-1}y^{-1}=[x,y],}$
   

   dann wäre das Wort
   

   ${\displaystyle w:=y^{-1}x^{-1}aba^{-1}b^{-1}aba^{-1}b^{-1}yx,}$
   

   durch geschickte Wahl der Variablen ${\displaystyle x,y\in F}$ in das leere Wort ${\displaystyle e}$ „überführbar“. Überführungen können hintereinander ausgeführt und auch rückgängig gemacht werden (Anwendungen der Kürzungsregeln sowieso, und das Zurückdrehen einer Einsetzung muss halt eine korrekte Einsetzung ergeben), so dass „überführbar“ eine Äquivalenzrelation ist.
   Nun ist ${\displaystyle w}$ durch die Wahl ${\displaystyle x:=a,y:=b}$ überführbar in das Wort ${\displaystyle a^{-1}b^{-1}ab=[a^{-1},b^{-1}],}$ welches aber nicht in das leere Wort überführt werden kann.