Landau-Niveau

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Die Landau-Niveaus (nach Lew Dawidowitsch Landau) sind in der Quantenmechanik die Niveaus der transversalen Energie eines geladenen Teilchens, das sich in einem homogenen Magnetfeld bewegt. Während nach den Gesetzen der klassischen Physik das Teilchen jede beliebige transversale Energie annehmen kann, ist dies in der Quantenmechanik nicht möglich, sondern die Energie ist quantisiert, das heißt, die transversale Energie kann nur diskrete, durch eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ charakterisierte Werte annehmen. In Bezug auf die longitudinale Bewegung in Richtung des Magnetfeldes ist die Energie auch nach der quantenmechanischen Behandlung nicht quantisiert und identisch zur klassischen Herangehensweise. Im zweidimensionalen, transversalen Impulsraum bilden die Landau-Niveaus Kreise; im dreidimensionalen Impulsraum die Landau-Zylinder. Die Aufspaltung in Landau-Niveaus lässt sich zum Beispiel in der Festkörperphysik messen (De-Haas-van-Alphen-Effekt). Dort sind die transversalen Impulse zusätzlich aufgrund des Kristallgitters gequantelt. Es lässt sich dann zeigen, dass auf jedem Landau-Zylinder exakt gleich viele Zustände liegen.

Die Energie eines geladenen Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$ (z. B. eines Elektrons) und Ladung ${\displaystyle q}$ (beim Elektron ist ${\displaystyle q=-e}$ mit der Elementarladung e) in einem homogenen Magnetfeld ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle z}$-Richtung, lautet:^[1]

${\displaystyle E(n,p_{z})=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\in \mathbb {N} _{0},p_{z}\in \mathbb {R} .}$

Dabei ist ${\displaystyle p_{z}}$ der Impuls des Teilchens in ${\displaystyle z}$-Richtung, ${\displaystyle \omega _{c}=|q\cdot B|/m}$ die „Zyklotronfrequenz“ (korrekt eigentlich Zyklotronwinkelgeschwindigkeit) und ${\displaystyle \hbar }$ die reduzierte Planck-Konstante. Weist das geladene Teilchen auch einen Spin auf, so führt dies zu einer zusätzlichen Aufspaltung der Niveaus nach der Quantenzahl ${\displaystyle s_{z}}$ für die ${\displaystyle z}$-Komponente (= Magnetfeldrichtung) des Spins:^[2]

${\displaystyle E(n,p_{z},s_{z})=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}-g_{s}{\frac {q\hbar }{2m}}\cdot s_{z}B,\quad }$ wobei ${\displaystyle g_{s}}$ der Landé-Faktor ist, beim Elektron also ${\displaystyle g_{s}=2{,}0023\dots }$

Die transversalen Bahnkurven der Teilchen in der klassischen Physik sind Kreise; in quantenmechanischer Behandlung können nur Aufenthaltswahrscheinlichkeiten angegeben werden. Diese werden im Fall eines homogenen Magnetfelds durch zwei Quantenzahlen ${\displaystyle n_{r}\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\displaystyle \ell \in \mathbb {Z} }$ bestimmt, wobei diese durch ${\displaystyle n=n_{r}+{\tfrac {|\ell |-\ell }{2}}}$ in Zusammenhang mit der Energie stehen. Da weder ${\displaystyle n_{r}}$ noch ${\displaystyle \ell }$ direkt in die Energie eingehen, sind die Energieniveaus unendlichfach entartet (zur Form der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Ortsraum siehe unten).

1. ↑ Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen Landau1930.
2. ↑ L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Quantum Mechanics: Non-relativistic theory. 3. Auflage. Pergamon Press, Oxford, 1977, S. 455ff.