Lineare Funktion

Unter einer linearen Funktion versteht man oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, die sich in der Form

${\displaystyle f(x)=m\cdot x+n}$

mit ${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} }$ schreiben lässt.^[1] Es handelt sich um eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, wodurch sich der Name ableitet (von lateinisch linea ‚(gerade) Linie‘).

Eine lineare Funktion im oben beschriebenen Sinne ist keine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Vielmehr handelt es sich um eine affine Abbildung, weshalb man auch von einer affin-linearen Funktion^[2] spricht. Um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall ${\displaystyle n=0}$, also ${\displaystyle f(x)=mx.}$ Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionaität bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall ${\displaystyle n\neq 0}$ auch linear-inhomogene Funktion genannt.

Lineare Funktionen gehören zu den grundlegenden Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen mithilfe linearer Funktionen leichter lösen; daher versucht man oft, komplizierte Zusammenhänge durch lineare Funktionen zu approximieren.

1. ↑ Duden (Hrsg.): Basiswissen Schule Mathematik. 4. Auflage. 2010, ISBN 978-3-411-71504-6, S. 180. 
2. ↑ Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer, 2022, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 104.