Logarithmische Ableitung

In der Analysis ist die logarithmische Ableitung ${\displaystyle \operatorname {L} (f)}$ einer differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f}$, die keine Nullstellen besitzt, als der Quotient der Ableitung einer Funktion und der Funktion selbst definiert; formal

${\displaystyle \operatorname {L} (f):={\frac {f'}{f}}.}$

Auf gleiche Weise lässt sich der Begriff auch für von Null verschiedene meromorphe Funktionen definieren (hier brauchen keine Nullstellen ausgeschlossen zu werden, weil der Quotient für meromorphe Funktionen wohldefiniert ist). Für reelle Funktionen ${\displaystyle f}$ mit positiven Werten stimmt die logarithmische Ableitung nach der Kettenregel mit der Ableitung der Funktion ${\displaystyle \ln(f)}$ überein; daher der Name. Es gilt also

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}}$.

Daraus folgt

${\displaystyle f(\ln f)'=f'\implies \int f(x)(\ln f(x))'dx=f(x)+C.}$