Maclaurinsche Reihe

Die maclaurinsche Reihe (nach Colin Maclaurin) ist in der Analysis eine Bezeichnung für den Spezialfall einer Taylor-Reihe mit Entwicklungsstelle ${\displaystyle x_{0}=0}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {f^{(j)}(0)}{j!}}x^{j}=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {1}{2!}}f''(0)\cdot x^{2}+\dots }$

Das Betrachten nur endlich vieler Glieder der obigen Reihe liefert die maclaurinsche Formel als Spezialfall der Taylor-Formel:

${\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}+R_{n}}$

mit dem Restglied

${\displaystyle R_{n}={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(\theta x)\qquad 0<\theta <1}$

oder alternativ

${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{0}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t.}$

Die Konvergenz der Maclaurinschen Reihe kann durch Untersuchung des Restgliedes ${\displaystyle R_{n}}$ oder durch Bestimmung des Konvergenzradius nachgewiesen werden. Im letzteren Falle kann es jedoch vorkommen, dass die Reihe zwar konvergiert, ihre Summe aber ungleich ${\displaystyle f(x)}$ ist. Ein Beispiel für solch einen Fall ist die Funktion ${\displaystyle f(x)=\exp(-1/x^{2})}$ mit der Bedingung ${\displaystyle f(0)=0}$: die Glieder ihrer Maclaurinschen Reihe sind alle 0, allerdings ist ${\displaystyle f(x)\not =0}$ für ${\displaystyle x\not =0.}$^[1]

Für Funktionen, die bei ${\displaystyle x=0}$ nicht definiert sind – z. B. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$, oder die bei ${\displaystyle x=0}$ zwar definiert, aber nicht beliebig oft differenzierbar sind – z. B. ${\displaystyle f(x)=x{\sqrt {x}}}$, lässt sich ebenfalls keine maclaurinsche Reihe entwickeln.

1. ↑ I. Bronstein, K. Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0, S. 434.