Maximum-Likelihood-Methode

Die Maximum-Likelihood-Methode, kurz ML-Methode, auch Maximum-Likelihood-Schätzung (maximum likelihood englisch für größte Plausibilität, daher auch Methode der größten Plausibilität^[1]), Methode der maximalen Mutmaßlichkeit,^[2] Größte-Dichte-Methode oder Methode der größten Dichte bezeichnet in der Statistik ein parametrisches Schätzverfahren. Dabei wird – vereinfacht ausgedrückt – derjenige Parameter als Schätzung ausgewählt, gemäß dessen Verteilung die Realisierung der beobachteten Daten am plausibelsten erscheint.

Im Falle einer von einem Parameter ${\displaystyle \vartheta }$ abhängigen Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle \rho \colon \Omega \to [0,1],\quad x\mapsto \rho (x\mid \vartheta )}$

wird zu einem beobachteten Ausgang ${\displaystyle x}$ also die folgende Likelihood-Funktion für verschiedene Parameter betrachtet:

${\displaystyle L\colon \Theta \to [0,1],\quad \vartheta \mapsto \rho (x\mid \vartheta ).}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Omega }$ den Ergebnisraum und ${\displaystyle \Theta }$ den Parameterraum (Raum aller möglichen Parameterwerte).

Für einen bestimmten Wert des Parameters ${\displaystyle \vartheta }$ entspricht die Likelihood-Funktion (Wahrscheinlichkeitsfunktion) der Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis ${\displaystyle x}$ zu beobachten. Als Maximum-Likelihood-Schätzung wird entsprechend dasjenige ${\displaystyle \vartheta }$ bezeichnet, für das die Likelihood-Funktion maximal wird. Im Falle stetiger Verteilungen gilt eine analoge Definition, nur wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion in dieser Situation durch die zugehörige Dichtefunktion ersetzt. Allgemein lassen sich Maximum-Likelihood-Methoden für beliebige statistische Modelle definieren, solange die entsprechende Verteilungsklasse eine dominierte Verteilungsklasse ist.

1. ↑ Alice Zheng, Amanda Casari: Merkmalskonstruktion für Machine Learning: Prinzipien und Techniken der Datenaufbereitung
2. ↑ Der Deutsche Normenausschuß hat in einem Rundschreiben 1954 den schwerfälligen Begriff „Methode der maximalen Mutmaßlichkeit im Gauß-Fisherschen Sinne“ vorgeschlagen