Modularer Verband

Ein modularer Verband im Sinne der Ordnungstheorie ist ein Verband, der die folgende selbst-duale Bedingung erfüllt (Modularitätsgesetz):

${\displaystyle x\leq b}$ impliziert ${\displaystyle x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b.}$

Modulare Verbände treten in der Algebra und vielen anderen Bereichen der Mathematik auf. So bilden beispielsweise die Untervektorräume eines Vektorraums (und allgemeiner die Untermoduln eines Moduls über einem Ring) einen modularen Verband.

Jeder distributive Verband ist modular.

In einem nichtmodularen Verband, kann es dennoch Elemente ${\displaystyle b}$ geben, die das Modularitätsgesetz zusammen mit beliebigen Elementen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle x}$ erfüllen (unter der Bedingung ${\displaystyle x\leq b}$). Ein solches Element ${\displaystyle b}$ heißt modulares Element. Noch allgemeiner kann man Paare ${\displaystyle (a,b)}$ von Elementen betrachten, die das Modularitätsgesetz für alle Elemente ${\displaystyle x}$ erfüllen. Ein solches Paar heißt modulares Paar, und es gibt mehrere mit der Semimodularität zusammenhängende Verallgemeinerungen von Modularität, die auf diesen Begriff aufbauen.