Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung oder Partialbruchentwicklung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Sie wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit solchen Funktionen zu erleichtern. Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung.

Hier liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe einer Polynomfunktion und Brüchen der Form

${\displaystyle {\frac {a_{i}}{(x-x_{i})^{j}}}}$

dargestellt werden kann. Die ${\displaystyle x_{i}}$ sind dabei die Polstellen der Funktion.

Sind die Polstellen bereits bekannt, so ist die Bestimmung der Zähler ${\displaystyle a_{i}}$ die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung.

Bei reellwertigen Funktionen müssen die Polstellen ${\displaystyle x_{i}}$ und infolgedessen auch die Zahlen ${\displaystyle a_{i}}$ nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle ${\displaystyle z_{i}}$ auch die konjugiert komplexe Zahl ${\displaystyle {\overline {z_{i}}}}$ Nullstelle ist.

Statt ${\displaystyle {\tfrac {a_{1}}{(x-z_{i})^{j}}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {a_{2}}{(x-{\overline {z_{i}}})^{j}}}}$ verwendet man dann einen Term ${\displaystyle {\tfrac {b_{i}+c_{i}x}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{j}}}}$, wobei ${\displaystyle {x^{2}+p_{i}x+q_{i}}=(x-z_{i})\cdot (x-{\overline {z_{i}}})}$ ein reelles quadratisches Polynom ist und auch ${\displaystyle b_{i}}$ und ${\displaystyle c_{i}}$ reell sind.