Pillaische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Pillaische Primzahl eine Primzahl ${\displaystyle p}$, für welche eine positive ganze Zahl ${\displaystyle n>0}$ existiert, sodass die Fakultät von ${\displaystyle n}$, also ${\displaystyle n!}$, um Eins kleiner ist als ein Vielfaches der Primzahl ${\displaystyle p}$. Die Primzahl selbst darf aber nicht um Eins größer sein als ein Vielfaches von ${\displaystyle n}$. Mit anderen Worten:

Es existiert ein ${\displaystyle k_{1}\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n!+1=k_{1}\cdot p}$ und es muss ${\displaystyle p-1\not =k_{2}\cdot n}$ sein für alle ${\displaystyle k_{2}\in \mathbb {N} }$.

Mit Kongruenzen geschrieben bedeutet das:

Es muss ${\displaystyle n!+1\equiv 0{\pmod {p}}}$   und   ${\displaystyle p\not \equiv 1{\pmod {n}}}$ gelten.

Die dazugehörigen Zahlen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ nennt man EHS-Zahlen.^[1]

Die Pillai-Primzahlen wurden nach dem Mathematiker Subbayya Sivasankaranarayana Pillai benannt, der sich als erstes mit diesen Zahlen beschäftigte, indem er sich fragte, ob es wahr ist, dass jeder Primteiler ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ von ${\displaystyle n!+1}$ von der Form ${\displaystyle p=k\cdot n+1}$ ist.^[1]

1. ↑ ^{a b} G. E. Hardy, M. V. Subbarao: A Modified Problem of Pillai and Some Related Questions. The American Mathematical Monthly 109 (6), 2002, S. 554–559, abgerufen am 13. Juni 2018.