Projektionsmatrix (Statistik)

In der Statistik ist eine Projektionsmatrix eine symmetrische und idempotente Matrix.^[1] Weiterhin sind alle Eigenwerte einer Projektionsmatrix entweder 0 oder 1 und Rang und Spur einer Projektionsmatrix sind identisch.^[2] Die einzige nichtsinguläre Projektionsmatrix ist die Einheitsmatrix. Alle anderen Projektionsmatrizen sind singulär. Die wichtigsten Projektionsmatrizen in der Statistik stellen die Prädiktionsmatrix ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ und die residuenerzeugende Matrix bzw. Residualmatrix ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {P}}}$ dar. Sie sind ein Beispiel für eine Orthogonalprojektion im Sinne der linearen Algebra, wo jeder Vektor ${\displaystyle y}$ eines Vektorraumes mit Skalarprodukt bei gegebener Projektionsmatrix ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ in eindeutiger Weise zerlegt werden kann gemäß ${\displaystyle y={\boldsymbol {P}}y+({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {P}})y}$. Eine weitere in der Statistik wichtige Projektionsmatrix ist die zentrierende Matrix.

1. ↑ Alexander Basilevsky: Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences. Dover, 2005, ISBN 0-486-44538-0, S. 160–176 (google.com).  Vorlage:Cite book: Der Parameter language wurde bei wahrscheinlich fremdsprachiger Quelle nicht angegeben.
2. ↑ Wilhelm Caspary: Fehlertolerante Auswertung von Messdaten, ".124